利用正态法计算投资组合ES理论与实例

为更准确地进行市场风险管理，我们通常采用ES（Expected Shortfall 期望损失）模型来度量投资组合损失超过VaR损失时所遭受的平均损失程度。

1、ES的通俗介绍详见市场风险测度之ES概述

2、利用历史模拟法计算投资组合ES详见实例

关于VaR的通俗介绍详见市场风险测度之VaR概述。

1、利用历史模拟法计算股票组合VaR实例

2、利用正态法计算股票组合VaR实例

理论推导

如果假设一个收益率序列服从正态分布\(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)，对于给定的置信度α，均值μ和标准差σ我们可以推导出ES的解析解。

假设随机变量\(X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)，可以通过下面的公式将其标准化为\(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\)
\(X = \mu + \sigma Z \)

通过
\(
\begin{aligned}
\mathbb{P}(X \leq Y) &= \mathbb{P}( \mu + \sigma Z \leq Y)\\
&= \mathbb{P} \left(Z \leq \frac{Y-\mu}{\sigma} \right)\\
&= \Phi \left( \frac{Y-\mu}{\sigma} \right) = 1-\alpha\\
\end{aligned}
\)
其中\(\Phi(\cdot)\)是标准正态分布的累积分布函数。

我们可以推导出，置信度α下的VaR可以表示为

进一步推导出

\(\text{VaR}_\alpha (X) = Y = \Phi^{-1}(1-\alpha) \sigma + \mu\)
其中，\(\Phi^{-1}(\cdot)\)是标准正态分布累积分布的反函数。

ES可以表示为
\(ES_\alpha(X) = \frac{1}{1-\alpha} \int_\alpha^1 \text{VaR}_u(X) du\)

利用之前的结果，ES可以进一步表示为
\(
\begin{aligned}
ES_\alpha(X) &= \frac{1}{1-\alpha} \int_\alpha^1 ( \Phi^{-1}(1-u) \sigma + \mu ) du\\
&= \frac{1}{1-\alpha} \left( \int_\alpha^1 \Phi^{-1}(1-u) \sigma du + \int_\alpha^1 \mu du \right)\\
&= \frac{1}{1-\alpha} \int_\alpha^1 \Phi^{-1}(1-u) \sigma du + \mu
\end{aligned}
\)

直接求解\(\Phi^{-1}(\cdot)\)的积分比较困难，所以我们采用替换变量 \(u = \Phi(y)\)和\(y = \Phi^{-1}(u)\)，其中\(\phi(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp (-\frac{y^2}{2} )\)是标准正态密度函数。

求解积分，我们得到
\(
\begin{aligned}
\int_{\Phi^{-1} (\alpha)}^\infty -\frac{y \sigma}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{y^2}{2} \right) dy
&= \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{\Phi^{-1} (\alpha)}^\infty -y \exp (-\frac{y^2}{2}) dy \\
&= \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} ( \exp (-\frac{y^2}{2} ))|_{\Phi^{-1} (\alpha)}^\infty \\
&= \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} ( 0-\exp (-\frac{\Phi^{-1} (\alpha)^2}{2} )) \\
&= -\sigma \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp (-\frac{\Phi^{-1} (\alpha)^2}{2} ) \\
&= -\sigma \phi ( \Phi^{-1} (\alpha) )\\
\end{aligned}
\)

结果带入ES公式，我们得到最终正态分布下ES的计算公式
\(
\begin{aligned}
ES_\alpha(X) &= \frac{1}{1-\alpha} \int_\alpha^1 \Phi^{-1}(1-u) \sigma du + \mu \\
&= \frac{1}{1-\alpha} \left[ -\sigma \phi \left( \Phi^{-1} (\alpha) \right) \right] + \mu \\
&= \mu-\sigma \cdot \frac{\phi ( \Phi^{-1} (\alpha) )}{1-\alpha} \\
\end{aligned}
\)

其中，\(\lambda( \alpha ) = \frac{\phi \left( \Phi^{-1} (\alpha) \right)}{1-\alpha}\)可以很容易的在Excel里实现。

Excel实例

利用公式
\(ES_\alpha(X)= \mu-\sigma \cdot \frac{\phi ( \Phi^{-1} (\alpha) )}{1-\alpha} \)

可以通过Excel来计算正态法下股票组合的ES。

我们采用 利用正态法计算股票组合VaR实例 中的例子，计算ES的第1、2步与VaR实例中一致。

第3步，利用正态法计算整个股票组合1天95%的ES，ES（%）如下图A8所示，组合的ES值如A12所示，Excel公式如下图蓝色公式所示。

对于正态分布来说，由于97.35%的尾部平均近似于99%的分位数（通过上文VaR与ES的对应关系可以计算出），所以在实际操作中，金融机构通常用ES来作为VaR的近似值，特别是在观测数据不足时非常有用。例如，选取1年250个交易日中收益率序列中最差的7个损失的平均值，来作为1天99%的VaR的近似值，这样比直接计算99%的VaR得到的结果更加健壮稳定，更加有效地利用了观测数据，同时也考虑了收益率序列的厚尾效果。

在FRTB的IMA方法中，监管要求采用97.5%的ES来代替99%的VaR，也是出于厚尾效应的考虑，而且比97.35%的ES稍微保守。